Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Giải thích:
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có đường cao AK từ đỉnh A xuống cạnh AB.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có đường cao AM từ đỉnh A xuống cạnh AC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có đường cao AN từ đỉnh A xuống cạnh AD.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có đường cao AP từ đỉnh A xuống cạnh AE.
- Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có đường cao AQ từ đỉnh A xuống cạnh AF.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
- AH = AC * AB / BC = 5 * 12 / 13 = 60 / 13
- AK = AB * AC / BC = 12 * 5 / 13 = 60 / 13
- AM = AC * AB / BC = 5 * 12 / 13 = 60 / 13
- AN = AC * AB / BC = 5 * 12 / 13 = 60 / 13
- AP = AC * AB / BC = 5 * 12 / 13 = 60 / 13
- AQ = AC * AB / BC = 5 * 12 / 13 = 60 / 13

Vì e là trung điểm của cạnh AB nên AE = EB = 1/2 * AB = 1/2 * 12 = 6

Vì d là điểm đối xứng với c qua e nên AD = DC = 2 * AE = 2 * 6 = 12

Tứ giác ABCD là hình chữ nhật vì:
- AB = CD = 12
- BC = AD = 13
- AC = BD = 5
- Các đường cao AH, AK, AM, AN, AP, AQ đồng dài và đi qua một điểm chung là A.
- Cạnh AB song song với cạnh CD và cạnh BC song song với cạnh AD.