Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số nguyên dương ( n ) sao cho ( n + 2 ) là ước của 111 và ( n - 2 ) là bội của 11.

Ta biết rằng 111 chia hết cho 3 và 37 (vì ( 111 = 3 \times 37 )), do đó các ước của 111 là 1, 3, 37, và 111. Vì ( n + 2 ) là ước của 111, nên ( n + 2 ) có thể nhận các giá trị là 1, 3, 37, hoặc 111.

Tuy nhiên, ( n ) phải là số nguyên dương và ( n - 2 ) phải là bội của 11, nên ( n + 2 ) không thể là 1. Nếu ( n + 2 = 3 ), thì ( n = 1 ) và ( n - 2 = -1 ), không phải là bội của 11. Nếu ( n + 2 = 37 ), thì ( n = 35 ) và ( n - 2 = 33 ), là bội của 11. Nếu ( n + 2 = 111 ), thì ( n = 109 ) và ( n - 2 = 107 ), không phải là bội của 11.

Vậy, số nguyên dương ( n ) cần tìm là 35, vì nó thỏa mãn cả hai điều kiện của bài toán: ( n + 2 = 37 ) là ước của 111 và ( n - 2 = 33 ) là bội của 11.