a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên đường cao AH cắt BC tại trung điểm H. M là trung điểm của AC, nên AM = MC. Khi đó, ta có ME = MH (vì E là điểm đối xứng của H qua M). Vậy tam giác MEH cân tại M. Do đó, ta có ME = MH và ME vuông góc với EH. Từ đó, ta suy ra AE = CH và AE vuông góc với CH. Vậy tứ giác AECH là hình chữ nhật.

b) Ta có tam giác ABC cân tại A, nên đường cao AH cắt BC tại trung điểm H. M là trung điểm của AC, nên AM = MC. Khi đó, ta có ME = MH (vì E là điểm đối xứng của H qua M). Vậy tam giác MEH cân tại M. Do đó, ta có ME = MH và ME vuông góc với EH. Từ đó, ta suy ra AE = CH và AE vuông góc với CH. Vậy tứ giác AECH là hình chữ nhật.

Tứ giác ABHE là hình vuông vì các cạnh AB, BH, HE, EA đều bằng nhau và các góc ABH, BHE, HEA, EAB đều bằng 90 độ.

c) Diện tích của hình chữ nhật AECH là S = AE x CH = AH x BC = 8cm x 12cm = 96cm^2.

d) Để tứ giác AECH là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là AE = CH.