a, Ta có AM là đường trung bình của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BC và cắt BC ở M. Vì tam giác ABC vuông tại A nên AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC và cắt BC ở H. Vậy AH và AM là hai đường cao của tam giác ABC, nên AH và AM trùng nhau.

Do đó, ta có AH = AM.

Vì D là điểm đối xứng của A qua M, nên MD = MA.

Từ đó, ta có MD = MA = AM = AH.

Vậy ABDC là hình chữ nhật với AB = DC và AD = BC.

b, Gọi G là giao điểm của DB và HE. Ta cần chứng minh G là trung điểm của HE.

Vì HA = HE và AH // DE (do ADE là tam giác cân), nên ta có tam giác AHE là tam giác đều.

Do đó, AG là đường cao của tam giác AHE, nên AG vuông góc với HE và cắt HE ở G.

Vì HE là đường cao của tam giác ADE, nên G là trung điểm của HE.

Vậy HG = GE.

Ta có DB // AC (do ABDC là hình chữ nhật), nên góc ADB = góc BAC.

Từ đó, ta có góc ADE = góc BAC.

Vì AH // DE (do ADE là tam giác cân), nên góc HAG = góc ADE.

Vậy góc HAG = góc ADE = góc ADB.

Do đó, DB là tia phân giác của góc ADE.

c, Gọi N là giao điểm của HK và BD. Ta cần chứng minh N là trung điểm của HK.

Vì HK // AC (do HK là hình chiếu của HE trên AC), nên góc HKN = góc BAC.

Vì AH // DE (do ADE là tam giác cân), nên góc HAN = góc ADE.

Từ đó, ta có góc HAN = góc ADE = góc BAC.

Vậy góc HAN = góc BAC = góc HKN.

Do đó, HK là đường cao của tam giác HAN, nên HK vuông góc với AN và cắt AN ở N.

Vì HK là hình chiếu của HE trên AC, nên HK vuông góc với AC và cắt AC ở P.

Vậy N là trung điểm của HK.

Vì H là trung điểm của AP (do AH = HP), nên HN cắt AP ở trung điểm của HP.

Vậy H, I, K thẳng hàng.