a) Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm I là đường trung trực của cạnh BC. Vì M thuộc cạnh AI, nên ta có AM = MI. Giả sử CM cắt AB tại điểm N. Ta cần chứng minh rằng CM = MB. Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có: AN/BN = AI/BI Vì AI là đường trung trực của BC, nên AI cắt BC tại điểm trung điểm của BC, gọi là E. Do đó, AI = IE và BI = EC. Thay vào biểu thức trên, ta có: AN/BN = IE/EC Vì AM = MI, nên AN = AM + MN và BN = BM - MN. Thay vào biểu thức trên, ta có: (AM + MN)/(BM - MN) = IE/EC Từ đó, ta có: AM/IE + MN/IE = BM/EC - MN/EC Vì AM/IE = 1 và MN/IE = 1, nên ta có: 1 + 1 = BM/EC - MN/EC 2 = BM/EC - MN/EC 2 = (BM - MN)/EC 2EC = BM - MN EC = MN/2 Vì EC = MN/2, nên ta có CM = BM. Do đó, ta đã chứng minh được rằng CM = MB. b) Ta đã chứng minh trong câu a) rằng CM = MB. Vì M thuộc cạnh AI, nên ta có AM = MI. Do đó, ta có AM = MI = MB = MC. Vậy AI là đường trung trực của đoạn thẳng BC. c) Từ D kẻ DH vuông góc với BC (H thuộc BC). Ta cần chứng minh rằng góc BAC bằng góc BDH. Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA. Vì DH vuông góc với BC, nên góc BDH = góc BCD. Vì đường thẳng CM cắt AB tại N, nên góc BCD = góc MCN. Vì CM = MB (đã chứng minh trong câu a)), nên tam giác MCB là tam giác cân tại M. Vì tam giác MCB cân tại M, nên góc MCN = góc MNC. Vậy ta có: góc BAC = góc BCA = góc BCD = góc BDH = 2 * góc BDH. Vậy ta đã chứng minh được rằng góc BAC bằng góc BDH