Cho đường thẳng d1 : y= 3x + 4 và d2 : y= -1/3x + 2 . Cho biết d1 giao với ox tại A, d1 giao với oy tại B, d2 giao với ox tại C, d2 giao với oy tại D, d1 giao với d2 tại M. Chứng minh tam giác AMC vuông tại M

Để chứng minh tam giác AMC vuông tại M, ta cần chứng minh rằng góc AMC bằng 90 độ.

Gọi A là giao điểm của đường thẳng d1 với trục hoành (ox), ta có y = 0 khi x = -4/3. Vậy tọa độ của A là (-4/3, 0).

Gọi C là giao điểm của đường thẳng d2 với trục hoành (ox), ta có y = 0 khi x = 6. Vậy tọa độ của C là (6, 0).

Gọi B là giao điểm của đường thẳng d1 với trục tung (oy), ta có x = 0 khi y = 4. Vậy tọa độ của B là (0, 4).

Gọi D là giao điểm của đường thẳng d2 với trục tung (oy), ta có x = 0 khi y = 2. Vậy tọa độ của D là (0, 2).

Để tìm giao điểm của d1 và d2, ta giải hệ phương trình:
3x + 4 = -1/3x + 2
9x + 12 = -x + 6
10x = -6
x = -3/5

Thay x vào đường thẳng d1, ta có:
y = 3(-3/5) + 4
y = -9/5 + 20/5
y = 11/5

Vậy tọa độ của M là (-3/5, 11/5).

Ta có AM = √[(-3/5 - (-4/3))^2 + (11/5 - 0)^2] = √[(12/15 - 20/15)^2 + (11/5)^2] = √[(8/15)^2 + (11/5)^2] = √[64/225 + 121/25] = √[256/900 + 121/100] = √[(256 + 1089)/900] = √[1345/900] = √(269/180) = √(269)/√(180)

AC = √[(6 - (-4/3))^2 + (0 - 0)^2] = √[(18/3 + 4/3)^2 + 0^2] = √[(22/3)^2] = 22/3

MC = √[(-3/5 - 6)^2 + (11/5 - 0)^2] = √[(30/5 + 6)^2 + (11/5)^2] = √[(36/5)^2 + (11/5)^2] = √[(1296/25 + 121/25)] = √(1417/25) = √(1417)/√(25) = √(1417)/5

Theo định lý Pythagoras, tam giác AMC vuông tại M khi và chỉ khi AM^2 + MC^2 = AC^2.

Ta có: AM^2 + MC^2 = (√(269)/√(180))^2 + (√(1417)/5)^2 = 269/180 + 1417/25 = (269*25 + 180*1417)/(180*25) = (6725 + 255060)/(4500) = 262785/4500

AC^2 = (22/3)^2 = 484/9

Vậy AM^2 + MC^2 = AC^2 khi và chỉ khi 262785/4500 = 484/9.

Để tính diện tích tam giác AMC, ta sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích số độ dài hai cạnh và độ dài đoạn thẳng vuông góc xuống cạnh còn lại.

Diện tích tam giác AMC = 1/2 * AM * MC = 1/2 * (√(269)/√(180)) * (√(1417)/5) = √(269*1417)/(10√(180)) = √(380573)/(10√(180))

Để tính diện tích tam giác AMO, ta sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích số độ dài hai cạnh và độ dài đoạn thẳng vuông góc xuống cạnh còn lại.

Độ dài đoạn thẳng vuông góc xuống cạnh AM là OM = 3/5.

Diện tích tam giác AMO = 1/2 * AM * OM = 1/2 * (√(269)/√(180)) * (3/5) = 3√(269)/(10√(180))

Để tính diện tích tam giác ABO, ta sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích số độ dài hai cạnh và độ dài đoạn thẳng vuông góc xuống cạnh còn lại.

Độ dài đoạn thẳng vuông góc xuống cạnh AB là OB = 4.

Diện tích tam giác ABO = 1/2 * AB * OB = 1/2 * (4) * (4) = 8

Để tính diện tích tam giác BOD, ta sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích số độ dài hai cạnh và độ dài đoạn thẳng vuông góc xuống cạnh còn lại.

Diện tích tam giác BOD = 1/2 * BD * OD = 1/2 * (2) * (2) = 2

Vậy diện tích tam giác AMC là √(380573)/(10√(180)), diện tích tam giác AMO là 3√(269)/(10√(180)), diện tích tam giác ABO là 8, diện tích tam giác BOD là 2.