Chứng minh rằng số sau không là số chính phương

Để chứng minh rằng số P không là số chính phương, ta cần chứng minh rằng P không phải là bình phương của một số nguyên.

Giả sử P là bình phương của một số nguyên k, tức là P = k^2.

Ta có: P = 2014^2014 + 2019^2019 + 3^3^4

Vì 2014 và 2019 đều là số chẵn, nên ta có thể viết lại P như sau:

P = (2a)^2014 + (2b)^2019 + 3^3^4

= 2^2014 * a^2014 + 2^2019 * b^2019 + 3^3^4

= 2^2014 * a^2014 + 2^2014 * 2^5 * b^2019 + 3^3^4

= 2^2014 * (a^2014 + 2^5 * b^2019) + 3^3^4

Vì a^2014 + 2^5 * b^2019 là một số nguyên, ta gọi nó là m.

P = 2^2014 * m + 3^3^4

Để P là bình phương của một số nguyên, ta cần phải thỏa mãn điều kiện sau:

P ≡ 0 (mod 4)

Vì 2^2014 ≡ 0 (mod 4), nên ta chỉ cần xét phần còn lại là m + 3^3^4.

Để m + 3^3^4 ≡ 0 (mod 4), ta xét từng trường hợp:

- Khi m ≡ 0 (mod 4), ta có m + 3^3^4 ≡ 0 + 3^3^4 ≡ 3 (mod 4), không thỏa mãn điều kiện.

- Khi m ≡ 1 (mod 4), ta có m + 3^3^4 ≡ 1 + 3^3^4 ≡ 1 + 3 ≡ 4 (mod 4), không thỏa mãn điều kiện.

- Khi m ≡ 2 (mod 4), ta có m + 3^3^4 ≡ 2 + 3^3^4 ≡ 2 + 3 ≡ 5 (mod 4), không thỏa mãn điều kiện.

- Khi m ≡ 3 (mod 4), ta có m + 3^3^4 ≡ 3 + 3^3^4 ≡ 3 + 3 ≡ 6 (mod 4), không thỏa mãn điều kiện.

Vì không có trường hợp nào thỏa mãn điều kiện, nên P không là bình phương của một số nguyên.

Vậy, số P không là số chính phương.