Chứng minh ANCM là hình bình hành

a) Ta có:
- Đường chéo AC chia hình chữ nhật ABCD thành hai tam giác ADC và ABC.
- OM là đường chéo của tam giác ADC, nên OM chia tam giác ADC thành hai tam giác ODM và OCM.
- AB là đường chéo của tam giác ABC, nên AB chia tam giác ABC thành hai tam giác ANB và AMB.

Ta cần chứng minh ANCM là hình bình hành, tức là chứng minh AN = CM và AN // CM.

- Ta có: AN = AB - BN (vì N là giao điểm của OM và AB)
- Ta có: CM = CD - DM (vì M là một điểm trên CD)

Để chứng minh AN = CM, ta cần chứng minh AB - BN = CD - DM.

- Ta có: AB = AD + DB (vì AB là đường chéo của hình chữ nhật ABCD)
- Ta có: CD = AD + DC (vì CD là đường chéo của hình chữ nhật ABCD)

Thay vào biểu thức trên, ta có: AB - BN = AD + DB - BN = AD + DN
CD - DM = AD + DC - DM = AD + DM

Vậy để AN = CM, ta cần chứng minh AD + DN = AD + DM, hay DN = DM.

- Ta có: OM // AB (vì OM và AB đều đi qua giao điểm O)
- Ta có: DN // AB (vì N là giao điểm của OM và AB)

Vậy DN // OM // AB.

- Ta có: OM // CD (vì OM và CD đều đi qua giao điểm O)
- Ta có: DM // CD (vì M là một điểm trên CD)

Vậy DM // OM // CD.

Do đó, DN // OM // AB và DM // OM // CD, nên DN // AB và DM // CD.

Vậy DN = DM.

Từ đó, ta có AN = AB - BN = AB - DN = AB - DM = CM.

Vậy AN = CM.

Do DN // AB và DM // CD, nên AN // CM.

Vậy ANCM là hình bình hành.

b) Ta cần chứng minh NF // AC và ME // AC.

- Ta có: NF // AB (vì NF và AB đều đi qua điểm N)
- Ta có: AB // AC (vì AB là đường chéo của hình chữ nhật ABCD)

Vậy NF // AC.

- Ta có: ME // AD (vì ME và AD đều đi qua điểm M)
- Ta có: AD // AC (vì AD là đường chéo của hình chữ nhật ABCD)

Vậy ME // AC.

Do đó, NF // AC và ME // AC.

Để chứng minh MENF là hình bình hành, ta cần chứng minh NF = ME và NF // ME.

- Ta có: NF // AC và ME // AC (đã chứng minh ở trên)
- Ta có: AC = AN + NC (vì AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD)
- Ta có: AC = CM + NC (vì AC là đường chéo của hình chữ nhật ABCD)

Thay vào biểu thức trên, ta có: AN + NC = CM + NC

Do đó, AN = CM.

- Ta có: NF // AC và ME // AC (đã chứng minh ở trên)
- Ta có: NF // AB và ME // AD (đã chứng minh ở trên)

Vậy NF // ME.

Từ đó, ta có NF = ME.

Vậy NF = ME và NF // ME.

Vậy MENF là hình bình hành.