Thu gọn đa thức A và B. Tính giá trị của A tại x = 2

1) Thu gọn đa thức A:
A = (x+2)(x²-2x+4) + 2(x+1)(1-x)
= (x+2)(x²-2x+4) + 2(-x² + x + 1)
= (x+2)(x²-2x+4) - 2x² + 2x + 2
= x³ - 2x² + 4x + 2x² - 4x + 8 - 2x² + 2x + 2
= x³ + 2x² + 8

2) Tính giá trị của A tại x=2:
A = 2³ + 2(2)² + 8
= 8 + 8 + 8
= 24

3) Chứng minh rằng giá trị biểu thức B luôn dương với mọi giá trị của x, y.
Để chứng minh rằng giá trị biểu thức B luôn dương, ta cần chứng minh rằng tổng các thành phần của B đều dương.

B = (2x-y)² - 2(4x²-y²) + (2x+y)² + 4(y+2)
= 4x² - 4xy + y² - 8x² + 2y² + 4x² + 4xy + y² + 4y + 8
= -4x² + 4x² + 4x² + 2y² + y² + 4y + 8
= 6x² + 3y² + 4y + 8

Với mọi giá trị của x và y, ta có:
- Các thành phần chứa x đều không âm vì bình phương của một số không âm luôn không âm.
- Các thành phần chứa y đều không âm vì bình phương của một số không âm luôn không âm.
- Các hệ số 6, 3 và 8 đều dương.

Do đó, tổng các thành phần của B là một tổng các số không âm và số dương, vì vậy giá trị biểu thức B luôn dương với mọi giá trị của x và y.