Để chứng minh rằng các điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường thẳng, ta sẽ sử dụng định lí Menelaus.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng A'MN, ta có:
$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CM}{MA'} = 1$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng B'IK, ta có:
$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CI}{IA'} = 1$

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng C'KN, ta có:
$\frac{AN}{NC} \cdot \frac{CK}{KB} \cdot \frac{BM}{MA'} = 1$

Nhân cả 3 phương trình trên với nhau, ta có:
$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CM}{MA'} \cdot \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CI}{IA'} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CK}{KB} \cdot \frac{BM}{MA'} = 1$

Rút gọn các phân số, ta có:
$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{AM}{MB} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{BM}{MA'} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CI}{IA'} \cdot \frac{CK}{KB} = 1$

Điều này cho thấy tích các phân số bằng 1, tức là:
$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{BM}{MA'} \cdot \frac{BK}{KC} \cdot \frac{CI}{IA'} \cdot \frac{CK}{KB} = 1$

Từ đó suy ra:
$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BM}{MA'} \cdot \frac{CI}{IA'} \cdot \frac{CK}{KB} \cdot \frac{AN}{NC} \cdot \frac{CN}{NA'} = 1$

Do đó, theo định lí Menelaus, ta có các điểm M, N, I, K cùng nằm trên một đường thẳng.