Cho tam giác ABC, có các đường phân giác AD, BE, CF

a) Ta có AB:AC=4:5, suy ra AB=4x và AC=5x (với x là một số thực dương).
Theo định lí phân giác, ta có:
$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}$
Vậy $\frac{BD}{DC}=\frac{4}{5}$
Từ đó, ta có $\frac{BD}{BD+DC}=\frac{4}{4+5}=\frac{4}{9}$
Vậy $\frac{BD}{BD+DC}=\frac{4}{9}$
Từ đó, ta có $BD=\frac{4}{9}(BD+DC)$
$\Rightarrow 9BD=4BD+4DC$
$\Rightarrow 5BD=4DC$
$\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
Vậy ta có $BD=AB=4x$ và $DC=AC=5x$
Vậy $DC=AC=\frac{5}{9}BC=\frac{5}{9} \times 18=10$ (cm)

b) Ta có AB:BC=4:7, suy ra AB=4x và BC=7x (với x là một số thực dương).
Ta có EC-EA=6cm, suy ra EC=EA+6.
Theo định lí phân giác, ta có:
$\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}=\frac{AC}{7x}$
Vậy $\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{7x}$
Từ đó, ta có $\frac{AF}{AF+FB}=\frac{AC}{AC+7x}$
Vậy $\frac{AF}{AF+FB}=\frac{AC}{AC+7x}$
Từ đó, ta có $AF=\frac{AC}{AC+7x}(AF+FB)$
$\Rightarrow (AC+7x)AF=AC(AF+FB)$
$\Rightarrow AC(AF+FB)+7xAF=AC(AF+FB)$
$\Rightarrow 7xAF=0$
$\Rightarrow AF=0$
Vậy ta có AF=0 và FB=AB=4x.
Vậy ta có EC=EA+6=2xAF+6=6 (cm)
Vậy AC=AE+EC=AB+BC=4x+7x=11x
Vậy ta có 11x=AC=6
$\Rightarrow x=\frac{6}{11}$
Vậy AC=11x=11$\times \frac{6}{11}=6$ (cm)