a, Ta có: BD là phân giác gócABC 
=> gócABD = gócDBE
Xét ΔABD và ΔEBD có:
BD chung 
gócABD = gócDBE
AB = BE
=> ΔABD = ΔEBD (c - g - c)
b, Ta có: ΔABD = ΔEBD
=> DE = AD (2 cạnh tương ứng)
      gócBED = gócBAD = 90° (2 góc tương ứng)
=> ED ⊥ BC
c, Xét ΔABI và ΔEBI có:
BI chung
gócABI = gócEBI
AB = BE
=> ΔABI = ΔEBI (c - g - c)
=>AI = IE (2 cạnh tương ứng)
    gócAIB = gócEIB (2 góc tương ứng)
=> I là trung điểm của AE
Ta lại có:  gócAIB =gócEIB
Mà 2 góc này kề bù
=> gócAIB =gócEIB = 90°
=> BD ⊥ AE tại trung điểm I của AE
d, Ta có: BF = AB + AF
Mà AB = AE và AF = CE
=> BF = BC
=> ΔBCF cân tại B
Xét ΔBCF cân tại B có: BD là phân giác gócFBC 
=> BD là đường cao ΔBCF
Ta lại có: AC ⊥ AB
=> AC ⊥ BF
=> AC là đường cao ΔBCF
Mà AC cắt BD tại D
=> D là giao điểm 3 đường cao ΔBCF
Ta lại có: DE ⊥ BC 
=> DE là đường cao ΔBCF
=> D,E,F thẳng hàng