Chứng minh: đường tròn tâm O',bán kính O'C tiếp xúc với đường tròn tâm O và tiếp xúc

a) Ta có:
- Góc CIA là góc nội tiếp nên góc CIA = 1/2 góc COA (định lý cung nửa)
- Góc CIO' là góc nội tiếp nên góc CIO' = 1/2 góc COA (định lý cung nửa)
- Góc CIA = góc CIO' (do là phân giác)
=> Góc CIA = góc CIO'
=> Tam giác CIA đồng dạng với tam giác CIO'
=> CI/CO = CA/O'C (định lý đồng dạng tam giác)
=> CI.CA = CO.O'C
=> CI.CA = R.R' (với R' là bán kính đường tròn tâm O')
=> CI.CA = R^2
=> CI/CA = R^2/CI.CA
=> CI/CA = R/CI
=> CI^2 = R.CA
=> CI = √(R.CA)
=> CI là đường kính đường tròn tâm O'
=> O'I = R' (với R' là bán kính đường tròn tâm O')
=> O'I = O'C
=> Đường tròn tâm O', bán kính O'C tiếp xúc với đường tròn tâm O tại điểm C.

b) Ta có:
- Góc CIA = góc CIO' (do là phân giác)
- Góc CIA = góc CDA (do là góc nội tiếp)
- Góc CIO' = góc CEA (do là góc nội tiếp)
=> Góc CDA = góc CEA
=> Tam giác CDA đồng dạng với tam giác CEA
=> CD/CE = CA/AE (định lý đồng dạng tam giác)
=> CD.CA = CE.AE
=> CD.CA = R'.R' (với R' là bán kính đường tròn tâm O')
=> CD.CA = R'^2
=> CD/CA = R'^2/CD.CA
=> CD/CA = R'/CD
=> CD^2 = R'.CA
=> CD = √(R'.CA)
=> CD là đường kính đường tròn tâm O'
=> O'D = R' (với R' là bán kính đường tròn tâm O')
=> O'D = O'E
=> Điểm D, O', E thẳng hàng.