Để giải bài toán, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Ta nhận thấy rằng phương trình 6xy - 9y + 2x = 12 có thể viết lại thành (6x - 9)(y + 2) = 18.

Với 18 là một số nguyên dương, ta có thể tìm các cặp số nguyên (6x - 9, y + 2) thỏa mãn tích của chúng bằng 18.

Các cặp số nguyên (6x - 9, y + 2) có thể là: (1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1), (-1, -18), (-2, -9), (-3, -6), (-6, -3), (-9, -2), (-18, -1).

Từ đó, ta có các cặp số nguyên (x, y) tương ứng là: (2, 16), (3, 7), (2, 4), (3, 1), (2, 0), (3, -17), (0, -20), (-1, -11), (0, -6), (-1, -3), (0, -2), (-1, -1).

Vậy, có tổng cộng 12 cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình 6xy - 9y + 2x = 12.