Để chứng minh MNPQ là hình thoi, ta cần chứng minh các cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau và các đường chéo của nó cắt nhau vuông góc tại trung điểm.

Ta có:
- M là trung điểm của AB, nên AM = MB.
- N là trung điểm của BD, nên BN = ND.
- P là trung điểm của CD, nên CP = PD.
- Q là trung điểm của AC, nên AQ = QC.

Vậy ta có:
- MN = AM + BN = MB + ND = BD.
- PQ = AQ + CP = QC + PD = CD.

Vì MN = BD và PQ = CD, nên MN = PQ.

Ta cần chứng minh đường chéo MP cắt đường chéo NQ tại trung điểm của chúng.

Gọi O là giao điểm của MP và NQ.

Ta có:
- MO cắt BD tại trung điểm của BD (vì M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BD).
- NO cắt AC tại trung điểm của AC (vì N là trung điểm của BD và Q là trung điểm của AC).

Vậy ta có:
- MO || BD và NO || AC.
- Vì BD vuông góc AC, nên MO vuông góc NO (do hai đường thẳng song song với cùng một đường thẳng thì chúng vuông góc với cùng một đường thẳng khác).

Vậy ta đã chứng minh được rằng MNPQ là hình thoi, với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, CD, AC.