Cho tam giác ABC có AB nhỏ hơn AC trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D tia AB cắt ED tại K

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và phân giác góc.

Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Ta có AM = MC.

Vì AE = AB, ta có tam giác AEM cân tại E. Do đó, đường thẳng EM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Từ đó, ta có ME = \frac{1}{2}BC.

Gọi I là giao điểm của tia phân giác góc A và đường thẳng ME. Ta cần chứng minh rằng I trùng với trung điểm của cạnh BC.

Ta có \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} (do tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D).

Vì AB < AC, nên \frac{BD}{DC} < 1. Do đó, điểm D nằm giữa B và C.

Vì AE = AB và ME = \frac{1}{2}BC, nên tam giác AEM và tam giác BDC có các cạnh tương đương.

Do đó, ta có \frac{AM}{MB} = \frac{BD}{DC}.

Vì AM = MC, nên \frac{MC}{MB} = \frac{BD}{DC}.

Từ đó, ta suy ra \frac{MC}{MB} = \frac{AM}{MB} = \frac{BD}{DC}.

Vậy, ta có \frac{MC}{MB} = \frac{BD}{DC}.

Do đó, I trùng với trung điểm của cạnh BC.

Vì AK = AC, nên tam giác AKC cân tại K. Do đó, đường thẳng KD là đường trung tuyến của tam giác AKC. Từ đó, ta có KD = \frac{1}{2}AC.

Vì AE = AB và ME = \frac{1}{2}BC, nên tam giác AEM và tam giác BDC có các cạnh tương đương.

Do đó, ta có \frac{AM}{MC} = \frac{BD}{DC}.

Vì AM = MC, nên \frac{MC}{AM} = \frac{BD}{DC}.

Từ đó, ta suy ra \frac{MC}{AM} = \frac{BD}{DC}.

Vậy, ta có \frac{MC}{AM} = \frac{BD}{DC}.

Do đó, I trùng với trung điểm của cạnh BC.

Vậy, ta có AK = KD.

Vậy, ta đã chứng minh được AK = AC.