Phân tích đa thức thành nhân tử: x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0

Để phân tích đa thức \(x^3 - 7x^2 + 14x - 8\) thành nhân tử, chúng ta có thể sử dụng phương pháp tìm nghiệm và chia đa thức. Đầu tiên, chúng ta sẽ kiểm tra các giá trị nguyên nhỏ (như \(x = 1, 2, 3, \ldots\)) xem có nghiệm nào không.

1. **Kiểm tra các giá trị nguyên:**
- Với \(x = 1\):
\[
1^3 - 7 \cdot 1^2 + 14 \cdot 1 - 8 = 1 - 7 + 14 - 8 = 0
\]
Vậy \(x = 1\) là một nghiệm của đa thức.

2. **Chia đa thức cho \(x - 1\) bằng phương pháp chia đa thức:**

Chúng ta sẽ dùng phép chia đa thức \(x^3 - 7x^2 + 14x - 8\) cho \(x - 1\).

- Bước 1: Chia \(x^3\) cho \(x\) được \(x^2\).
- Bước 2: Nhân \(x^2\) với \(x - 1\) được \(x^3 - x^2\).
- Bước 3: Trừ đi \(x^3 - x^2\) khỏi \((x^3 - 7x^2)\) được:
\[
-7x^2 + x^2 = -6x^2
\]
- Bước 4: Hạ tiếp \(+14x\) xuống, ta có:
\[
-6x^2 + 14x
\]
- Bước 5: Chia \(-6x^2\) cho \(x\) được \(-6x\).
- Bước 6: Nhân \(-6x\) với \(x - 1\) được \(-6x^2 + 6x\).
- Bước 7: Trừ đi \(-6x^2 + 6x\) khỏi \(-6x^2 + 14x\) được:
\[
14x - 6x = 8x
\]
- Bước 8: Hạ \( -8\) xuống, ta có:
\[
8x - 8
\]
- Bước 9: Chia \(8x\) cho \(x\) được \(8\).
- Bước 10: Nhân \(8\) với \(x - 1\) được \(8x - 8\).
- Bước 11: Trừ đi \(8x - 8\) ra khỏi \(8x - 8\) được \(0\).

Vậy kết quả chia là:
\[
x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x - 1)(x^2 - 6x + 8)
\]

3. **Giải phương trình bậc hai \(x^2 - 6x + 8 = 0\):**
- Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2}
\]
\[
= \frac{6 \pm 2}{2}
\]
Vậy ta có 2 nghiệm:
\[
x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2
\]

4. **Kết luận:**
Do đó, đa thức được phân tích thành nhân tử như sau:
\[
x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x - 1)(x - 2)(x - 4)
\]

Nghiệm của phương trình \(x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = 0\) là:
\[
x = 1, \quad x = 2, \quad x = 4
\]