Để chứng minh 4 điểm A, N, H, M thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng.

Ta có:
- Tam giác AHM vuông tại H.
- Tam giác AHN vuông tại H.
- Tam giác ANM vuông tại N.

Ta sẽ chứng minh tam giác AHM đồng dạng với tam giác AHN, từ đó suy ra tứ giác ANHM nội tiếp.

Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, nên góc BOC = 2 * góc BAC (định lý nửa cung).
Vì góc BOC = 90 độ (do BC là đường đường kính), nên góc BAC = 45 độ.

Ta có:
- Góc HAM = 90 - góc BAC = 90 - 45 = 45 độ.
- Góc HAN = 90 - góc BAC = 90 - 45 = 45 độ.

Vậy ta có góc HAM = góc HAN.

Ta cũng có:
- Góc HMA = góc HNA = 90 độ (do M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC).

Vậy ta có góc HMA = góc HNA.

Từ đó, ta suy ra tam giác AHM đồng dạng với tam giác AHN (theo góc - góc - góc).

Vậy tứ giác ANHM nội tiếp trong một đường tròn.