Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tam O, phân giác góc BAC cắt đường tròn tâm O tại D

a) Ta có:
$\angle BAC = \angle BDC$ (cùng nằm trên cung cung tương ứng)
$\angle BCA = \angle BDA$ (cùng nằm trên cung cung tương ứng)
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \angle BDC + \angle BDA = 180^\circ$
$\Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = 180^\circ$
$\Rightarrow EF \parallel BC$ (theo định lí cùng xiên)

b) Ta có:
$\angle BAF = \angle BDF$ (cùng nằm trên cung cung tương ứng)
$\angle BFA = \angle BDA$ (cùng nằm trên cung cung tương ứng)
$\Rightarrow \angle BAF = \angle BDF = \angle BDA$
$\Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle AFB$ (cùng có 2 góc bằng nhau)
$\Rightarrow \frac{AB}{AF} = \frac{AD}{AB}$
$\Rightarrow AB.AF = AD^2$

Tương tự, ta có:
$\angle CAE = \angle CDE$ (cùng nằm trên cung cung tương ứng)
$\angle CEA = \angle CDA$ (cùng nằm trên cung cung tương ứng)
$\Rightarrow \angle CAE = \angle CDE = \angle CDA$
$\Rightarrow \triangle ACD \sim \triangle AEC$ (cùng có 2 góc bằng nhau)
$\Rightarrow \frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AC}$
$\Rightarrow AC.AE = AD^2$

Vậy ta có: $AB.AF = AC.AE = AD^2$