a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Theo định lý Pythagoras, ta có:
AC^2 = AH^2 + CH^2
BC^2 = BH^2 + CH^2
Với AB = 6cm và BH = 3cm, ta có:
AC^2 = 6^2 + 3^2 = 45
BC^2 = 3^2 + 3^2 = 18
Vậy độ dài BC ≈ 4.24cm, AC ≈ 6.71cm.

Để tính độ dài AH, ta sử dụng công thức:
AH = (AB * BH) / AC = (6 * 3) / 6.71 ≈ 2.68cm.

Để tính số đo góc ABC, ta sử dụng công thức:
tan(ABC) = AH / BH = 2.68 / 3 ≈ 0.89
Góc ABC ≈ arctan(0.89) ≈ 42.48 độ.

b) Ta có AD là tia phân giác của góc HAB, nên AH/HD = AB/BD.
Với AB = 6cm và BH = 3cm, ta có:
AH/HD = 6/BD
AH = 6 * HD / BD

M là trung điểm của AD, nên AM = MD.
N là giao điểm của AB và CM, ta có CN = NM.

Ta có BC.CH = 3 * BC/2 = 3 * 4.24/2 = 6.36
CM.CN = 4.24 * 4.24/2 = 9

Vậy BC.CH = CM.CN.

c) Ta có tam giác ADC cân, nên AD = DC.
Ta có CM = BC/2 = 4.24/2 = 2.12

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ADC, ta có:
AC^2 = AD^2 + DC^2
AC^2 = AD^2 + AD^2
AC^2 = 2 * AD^2
1/AC^2 = 1/(2 * AD^2)
1/AC^2 = 1/(2 * AD^2) + 0
1/AC^2 = 1/(2 * AD^2) + 1/(4 * CM^2)

d) Tia phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABH cắt đường thẳng BC tại E.
I là trung điểm của AE, nên AI = IE.
F là trung điểm của CI, nên CF = FI.

Ta có ME = AE - AM = AE - AD/2 = AE - DC/2 = AE - BC/4 = AE - 4.24/4 = AE - 1.06
Vậy M, F, E thẳng hàng.