a, Ta có tam giác ACB vuông tại C, với AC = R và AB = 2R (vì AB là đường kính nửa đường tròn).
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACB, ta có:
BC² = AB² - AC² = (2R)² - R² = 4R² - R² = 3R²
Vậy BC = √(3R²) = R√3

b, Gọi D là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ 2 MD với nửa đường tròn.
Ta có AM là tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn, nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có ∠AMB = 90°.
Vì tam giác ACB vuông tại C, nên ∠ACB = 90°.
Do đó, ∠AMB = ∠ACB = 90°, suy ra A, M, C, B cùng thuộc một đường thẳng.
Vậy OM vuông góc với AD.

c, Gọi N là giao điểm của đường thẳng qua O vuông góc với AB với tia BD.
Ta cần chứng minh MN song song với AB.
Gọi P là giao điểm của MN và AB.
Ta cần chứng minh OP vuông góc với AB để suy ra MN song song với AB.

Vì OM vuông góc với AD (theo câu b), nên OP vuông góc với AD.
Vì đường thẳng qua O vuông góc với AB, nên OP vuông góc với AB.
Vậy OP vuông góc với cả AD và AB, suy ra MN song song với AB.

Vậy ta đã chứng minh được cả 3 câu a, b, c.