Để phân tích thành nhân tử, ta cần tìm các nhân tử của đa thức.

Đầu tiên, ta xem xem có thể tìm được nhân tử chung nào cho tất cả các hệ số của đa thức không. Ta thấy rằng tất cả các hệ số của đa thức đều chia hết cho 2, vậy 2 là một nhân tử chung. Ta có thể viết lại đa thức ban đầu như sau:

x^3 + 6x^2 + 12x + 6 = 2(x^3/2 + 3x + 3)

Tiếp theo, ta cần tìm các nhân tử còn lại của đa thức x^3/2 + 3x + 3. Để làm điều này, ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức.

Chia x^3/2 + 3x + 3 cho x + 1, ta được:

x^2/2 - x + 4
_____________________
x + 1 | x^3/2 + 3x + 3

- (x^3/2 + x^2/2)
_________________
-2x^2 + 3x
- (-2x^2 - 2x)
_________________
5x + 3
- (5x + 5)
_________________
-2

Vì kết quả cuối cùng là -2, nghĩa là đa thức không chia hết cho x + 1. Vậy x + 1 không phải là một nhân tử của đa thức ban đầu.

Tuy nhiên, ta có thể sử dụng phương pháp khác để tìm các nhân tử còn lại. Ta thấy rằng đa thức ban đầu có dạng x^3 + 6x^2 + 12x + 6, giống với dạng của đa thức (x + 1)^3. Vậy ta có thể thử giá trị x = -1:

(-1)^3 + 6(-1)^2 + 12(-1) + 6 = -1 + 6 + (-12) + 6 = -1

Vì kết quả là -1, nghĩa là đa thức chia hết cho x + 1, vậy x + 1 là một nhân tử của đa thức ban đầu.

Tổng kết, phân tích thành nhân tử của đa thức x^3 + 6x^2 + 12x + 6 là:

x^3 + 6x^2 + 12x + 6 = 2(x + 1)(x^2/2 - x + 4)