Cho tam giác MNP có MP=NP. Kẻ ME là phân giác của góc M(E thuộc NP), kẻ NF là phân giác của góc N(F thuộc MP)

Để chứng minh ME = NF, ta sẽ sử dụng định lí phân giác trong tam giác.

Gọi I là giao điểm của ME và NF.

Ta có:
- Góc MIE = Góc NIF (vì ME là phân giác của góc M và NF là phân giác của góc N)
- Góc MEI = Góc NFI (vì ME và NF là phân giác của góc M và góc N)

Do đó, tam giác MIE và tam giác NIF có:
- Góc MIE = Góc NIF
- Góc MEI = Góc NFI

Vậy, tam giác MIE và tam giác NIF là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Từ đó, ta có tỉ số đồng dạng:
ME / NF = MI / NI

Nhưng ta cũng có:
- Góc MIN = Góc M + Góc N = 180° (tổng các góc trong tam giác)
- Góc MIN = Góc MIE + Góc NIF (vì ME và NF là phân giác)

Do đó, tam giác MIE và tam giác NIF là hai tam giác cùng có tổng các góc bằng 180°.

Vậy, tam giác MIE và tam giác NIF là hai tam giác đồng dạng (có tỉ số đồng dạng).

Từ đó, ta có:
ME / NF = MI / NI

Vì MI = NI (vì I là giao điểm của ME và NF)

Nên ta có:
ME / NF = 1

Vậy, ME = NF.