a. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có AD là đường cao của tam giác ABC. Vì D là trung điểm của AC, nên ta có AD = DC. Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại A.

Vì D là trung điểm của BF, nên ta có BD = DF. Vậy tam giác BDF là tam giác cân tại B.

Vậy ta có tứ giác ABCD là tứ giác cân.

b. Tứ giác AICK là hình thoi.

Vì I là trung điểm của BC, nên ta có BI = IC.

Vì D là trung điểm của BF, nên ta có BD = DF.

Vì E là trung điểm của AF, nên ta có AE = EF.

Vậy ta có tứ giác AICK là tứ giác cân.

c. Để tứ giác AICK là hình vuông, ta cần thêm điều kiện là AI = CK.

Vì I là trung điểm của BC, nên ta có AI = IC.

Vì K là trung điểm của AE, nên ta có CK = KE.

Vậy ta cần thêm điều kiện là AI = CK = KE để tứ giác AICK là hình vuông.