a) Ta có:
- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc BAC và góc CAO là góc vuông.
- Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của AC. Khi đó, ta có: AI = IB và AJ = JC.
- Vì H là trung điểm của BC, nên BH = HC.
- Ta có: góc BHC = 180° - góc BAC = 180° - 90° = 90°.
- Vì BH = HC và góc BHC = 90°, nên tam giác BHC là tam giác vuông cân tại H.
- Vì tam giác BHC là tam giác vuông cân tại H, nên OH là đường cao của tam giác BHC và cắt BC tại H.
- Vậy, ta có A, H, O thẳng hàng và các điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có:
- Vì BD là đường kính của đường tròn (O), nên góc BOD là góc vuông.
- Vì CK vuông góc với BD, nên góc CKD là góc vuông.
- Ta có: góc BOD = góc CKD = 90°.
- Vì góc BOD = góc CKD = 90°, nên tứ giác BCKD là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
- Vì tứ giác BCKD là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn, nên góc BCD = góc BKD.
- Ta có: góc BCD = góc BKD = 90°.
- Vì góc BCD = góc BKD = 90°, nên tứ giác BCOK là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
- Vậy, ta có AC.CD = BC.CK = AO.CK.

c) Ta có:
- Vì M và N là các điểm trên đường tròn (O) và AO cắt đường tròn (O) tại M và N, nên góc MON là góc nhọn.
- Ta có: góc MON = góc MAO + góc NAO.
- Vì góc MAO = góc NAO (cùng là góc nửa đường tròn), nên góc MAO = góc NAO = 1/2 góc MON.
- Ta có: góc MAO = góc NAO = 1/2 góc MON.
- Vì góc MAO = góc NAO = 1/2 góc MON, nên góc MAO + góc NAO = 1/2 góc MON + 1/2 góc MON = góc MON.
- Vậy, ta có MH.NA = MA.NH.

d) Ta có:
- Vì AD là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc DAO là góc vuông.
- Vì CK vuông góc với BD, nên góc CKD là góc vuông.
- Ta có: góc DAO = góc CKD = 90°.
- Vì góc DAO = góc CKD = 90°, nên tứ giác ACDK là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
- Vì tứ giác ACDK là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn, nên góc AID = góc CKD.
- Ta có: góc AID = góc CKD = 90°.
- Vì góc AID = góc CKD = 90°, nên tứ giác AIDK là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.
- Vậy, ta có AI = IK.