Tứ giác là hình gì? Vì sao?

a) Tứ giác MPNH là hình chữ nhật. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường trung tuyến AM là đường cao cũng là đường phân giác của góc BAC. Do đó, MN là đường cao của tam giác ABC và MP là đường phân giác của góc BAC. Vì vậy, tứ giác MPNH có 4 góc vuông, tức là hình chữ nhật.

b) Ta có MN là đường cao của tam giác ABC, nên MN = BC/2. Vì đường trung tuyến AM cắt MN làm đôi, nên AM = MN = BC/2. Mà MP là đường phân giác của góc BAC, nên MP cắt MN làm đôi, tức là MP = MN = BC/2. Vậy ta có AM = MP. Tứ giác MPNH có 2 cạnh bằng nhau và 2 góc kề bằng nhau, nên là hình bình hành.

c) Kẻ đường cao MK của tam giác ABC. Ta có MK vuông góc AC. Vì đường cao MK cắt đường trung tuyến AM làm đôi, nên MK = AM/2 = BC/4. Vì MP là đường phân giác của góc BAC, nên MP cắt MK làm đôi, tức là MP = MK = BC/4. Vậy ta có MK = MP. Do đó, tứ giác MPNH có 2 cạnh bằng nhau và 2 góc kề bằng nhau, nên là hình thang cân.

d) Ta đã chứng minh ở câu c) rằng tứ giác MPNH là hình thang cân.