a) Để tìm x lớn nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta cần tìm ước chung lớn nhất của các số 24, 30 và 48. Ta có:

24 = 2^3 * 3
30 = 2 * 3 * 5
48 = 2^4 * 3

Ước chung lớn nhất của các số trên là 2^3 * 3 = 24. Vậy x = 24.

b) Để tìm x nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta cần tìm bội chung nhỏ nhất của các số 120, 180 và 30. Ta có:

120 = 2^3 * 3 * 5
180 = 2^2 * 3^2 * 5
30 = 2 * 3 * 5

Bội chung nhỏ nhất của các số trên là 2^3 * 3^2 * 5 = 360. Vậy x = 360.

Đồng thời, x cũng phải thỏa mãn điều kiện 5 < x ≤ 15. Vậy x = 10.

c) Để tìm x nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta cần tìm bội chung nhỏ nhất của các số 6, 8 và 12. Ta có:

6 = 2 * 3
8 = 2^3
12 = 2^2 * 3

Bội chung nhỏ nhất của các số trên là 2^3 * 3 = 24. Vậy x = 24.

d) Để tìm x lớn nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta cần tìm ước chung lớn nhất của các số 10, 12 và 60. Ta có:

10 = 2 * 5
12 = 2^2 * 3
60 = 2^2 * 3 * 5

Ước chung lớn nhất của các số trên là 2^2 * 3 = 12. Vậy x = 12.

Đồng thời, x cũng phải thỏa mãn điều kiện 120 < x < 200. Vậy x = 120.

e) Để tìm x thỏa mãn các điều kiện trên, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức sau:

x ≡ 2 (mod 50)
x ≡ 4 (mod 40)
x ≡ 3 (mod 27)

Ta có thể giải hệ thức này bằng cách sử dụng định lý Hoà Bình Trung Hoa. Ta có:

50 ≡ 2 (mod 40)
50 ≡ 2 (mod 27)

40 ≡ 1 (mod 27)
40 ≡ 13 (mod 50)

27 ≡ 27 (mod 50)
27 ≡ 27 (mod 40)

Từ đó, ta có:

x ≡ 2 * 40 * 27 + 4 * 50 * 27 + 3 * 50 * 40 (mod 50 * 40 * 27)

x ≡ 2160 + 5400 + 6000 (mod 54000)

x ≡ 13560 (mod 54000)

Vậy x = 13560.

f) Để tìm x thỏa mãn các điều kiện trên, ta cần tìm số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức sau:

x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 4 (mod 6)
x < 59

Ta có thể giải hệ thức này bằng cách sử dụng định lý Hoà Bình Trung Hoa. Ta có:

5 ≡ 5 (mod 6)
5 ≡ 5 (mod 59)

6 ≡ 6 (mod 5)
6 ≡ 6 (mod 59)

Từ đó, ta có:

x ≡ 3 * 6 * 59 + 4 * 5 * 59 (mod 5 * 6 * 59)

x ≡ 1071 + 1180 (mod 1770)

x ≡ 2251 (mod 1770)

Vậy x = 2251.