a) Ta có: OM = 6cm, R = 10cm. Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông OME, ta có:
OE^2 = OM^2 + EM^2
=> OE^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136
=> OE = √136 = 2√34 cm

Vì EF vuông góc với AO nên ta có tam giác vuông AOE.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOE, ta có:
AE^2 = AO^2 + OE^2
=> AE^2 = 10^2 + 136 = 100 + 136 = 236
=> AE = √236 = 2√59 cm

Do đó, độ dài dây EF là 2AE = 2 * 2√59 = 4√59 cm.

b) Ta có: OM = 6cm, R = 10cm. Vì EM vuông góc với AO nên ta có tam giác vuông AOE.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOE, ta có:
AE^2 = AO^2 + OE^2
=> AE^2 = 10^2 + 136 = 100 + 136 = 236
=> AE = √236 = 2√59 cm

Vì AE là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) nên theo tính chất tiếp tuyến, góc AEF = 90 độ.
Do đó, AF là tiếp tuyến của đường tròn (O, R).

c) Kẻ đường kính EC. Gọi G là giao điểm của đường kính EC và tiếp tuyến tại C của đường tròn (O, R).
Ta có: OG là đường cao của tam giác vuông OEC.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông OEC, ta có:
OE^2 = OC^2 + EC^2
=> 136 = OC^2 + (2R)^2
=> OC^2 = 136 - 4R^2

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông OGC, ta có:
OG^2 = OC^2 + CG^2
=> OG^2 = 136 - 4R^2 + R^2
=> OG^2 = 136 - 3R^2

Vì OG là đường cao của tam giác vuông OEC nên OG vuông góc với EC.
Vì EF vuông góc với AO nên OG vuông góc với EF.
Do đó, OG vuông góc với EF.

Vậy, ta có tam giác vuông OGF.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông OGF, ta có:
OF^2 = OG^2 + FG^2
=> OF^2 = 136 - 3R^2 + (2R)^2
=> OF^2 = 136 - 3R^2 + 4R^2
=> OF^2 = 136 + R^2

Vì OF là đường cao của tam giác vuông OEF nên OF vuông góc với EF.
Do đó, OF vuông góc với AO.

Vậy, ta có tam giác vuông OAF.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông OAF, ta có:
OA^2 = OF^2 + AF^2
=> OA^2 = 136 + R^2 + R^2
=> OA^2 = 136 + 2R^2
=> 2R^2 = OA^2 - 136

Vì EM vuông góc với AO nên ta có tam giác vuông AOE.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOE, ta có:
AE^2 = AO^2 + OE^2
=> AE^2 = 10^2 + 136 = 100 + 136 = 236
=> AE = √236 = 2√59 cm

Vì EF vuông góc với AO nên ta có tam giác vuông AEF.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AEF, ta có:
AF^2 = AE^2 + EF^2
=> AF^2 = 236 + EF^2

Vì EF vuông góc với AO nên ta có tam giác vuông AOE.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOE, ta có:
AO^2 = AE^2 + OE^2
=> AO^2 = 236 + OE^2

Vậy, ta có:
AF^2 = AO^2 + EF^2 - OE^2
=> AF^2 = 236 + EF^2 - 136
=> AF^2 = EF^2 + 100

Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) nên theo tính chất tiếp tuyến, AF^2 = EF^2 + R^2.
Do đó, ta có:
EF^2 + 100 = EF^2 + R^2
=> 100 = R^2
=> R = 10 cm

Vậy, 2R^2 = 2 * 10^2 = 200.
EM.ED = 2R^2 = 200.

d) Ta có: EM.ED = 2R^2 = 200.
Vì EM vuông góc với AO nên ta có tam giác vuông AOE.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AOE, ta có:
AE^2 = AO^2 + OE^2
=> AE^2 = 10^2 + 136 = 100 + 136 = 236
=> AE = √236 = 2√59 cm

Vì EF vuông góc với AO nên ta có tam giác vuông AEF.
Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông AEF, ta có:
AF^2 = AE^2 + EF^2
=> AF^2 = 236 + EF^2

Vì AF là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) nên theo tính chất tiếp tuyến, AF^2 = EF^2 + R^2.
Do đó, ta có:
236 + EF^2 = EF^2 + R^2
=> 236 = R^2
=> R = √236 = 2√59 cm

Vậy, EM.ED = 2R^2 = 2 * (2√59)^2 = 8 * 59 = 472.

Do đó, ta có 2R^2 = EM.ED.