Cho tam giác ABD vuông tại A có AB < AD. M là trung điểm của BD. Lấy C sao cho M là trung điểm của AC. Chứng minh ACBD là hình chữ nhật 

a) Ta có M là trung điểm của BD và C là trung điểm của AM, suy ra CM song song với BD và CM = 1/2BD.
Vì tam giác ABD vuông tại A nên AB < AD, suy ra AM < AD.
Vậy ta có AC < AD và CM = 1/2BD, nên ACBD là hình chữ nhật.

b) Gọi F là trung điểm của DA. Ta có MF song song với BD và MF = 1/2BD.
Vì DA = DE nên F là trung điểm của DE.
Ta có IF song song với DE và IF = 1/2DE.
Vậy ta có IF = 1/2DE = 1/2DA = 1/2DF.
Suy ra tam giác IDF là tam giác đều.
Vì IM là đường trung bình của tam giác đều IDF nên IM vuông góc với DF và IM = 1/2IF.
Vậy ta có IM = 1/2IF = 1/4DE = 1/4DA.
Tương tự, ta có IM = 1/4DC.
Vậy ta có IM = 1/4DA = 1/4DC.
Suy ra tam giác IDC là tam giác đều.
Vậy ta có ID = IC.
Vì I là trung điểm của CD nên IB = IC.
Vậy ta có IB = IC = IE.

c) Gọi G là trung điểm của AH. Ta có HG song song với BD và HG = 1/2BD.
Vì AH vuông góc với BD nên HG vuông góc với BD và HG = 1/2BD.
Vậy ta có HG = 1/2BD.
Vì H là trung điểm của AK nên HG song song với KC và HG = 1/2KC.
Vậy ta có HG = 1/2KC.
Suy ra KC = BD.
Vậy ta có BDCK là hình thang cân.