Cho các số x,y thỏa mãn đẳng thức

Để giải phương trình 5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông.

Đặt A = 5, B = 8, C = 5, D = -2, E = 2, F = 2. Ta có:

5x^2 + 5y^2 + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0
⇔ A(x^2 + y^2) + Bxy + Dx + Ey + F = 0
⇔ A(x^2 + y^2) + Bxy + Dx + Ey = -F

Đặt M = x + y, ta có:

(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy
⇔ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy
⇔ A(x^2 + y^2) = A[(x + y)^2 - 2xy] = AM - 2Axy

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:

AM - 2Axy + Bxy + Dx + Ey = -F
⇔ AM + (D - 2A)x + (E + B)y = -F

Để giải hệ phương trình này, ta so sánh hệ số của x và y:

D - 2A = -2
⇔ -2 - 2A = -2
⇔ A = 0

E + B = 0
⇔ 2 + 8 = 0
⇔ B = -10

Vì A = 0, nên phương trình trở thành:

0(x^2 + y^2) - 10xy + Dx + Ey = -F
⇔ -10xy + Dx + Ey = -F
⇔ -10xy - 2x + 2y = -2

Đặt u = x + y, v = xy, ta có:

-10v - 2u = -2
⇔ 10v + 2u = 2
⇔ 5v + u = 1

Giải hệ phương trình này, ta có:

v = (1 - u)/5

Thay vào biểu thức M = (x + y)^2023 + (x - 2)^2024 + (y + 1)^2025, ta có:

M = u^2023 + (u - 2)^2024 + (1 - u)^2025

Để tính giá trị của M, ta cần tìm giá trị của u.

Đạo hàm M theo u, ta có:

M' = 2023u^2022 + 2024(u - 2)^2023 - 2025(1 - u)^2024

Đặt M' = 0, ta có:

2023u^2022 + 2024(u - 2)^2023 - 2025(1 - u)^2024 = 0

Đây là một phương trình bậc cao, không thể giải bằng phép tính đơn giản. Ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp số để tìm giá trị gần đúng của u.

Sau khi tìm được giá trị gần đúng của u, ta thay vào biểu thức M để tính giá trị cuối cùng.