Để chứng minh rằng có vô số số tự nhiên thoả n.2^n-1 chia hết cho p, ta sẽ sử dụng Định lý Euclid về số nguyên tố.

Giả sử p là số nguyên tố lớn hơn 2 và n.2^n-1 chia hết cho p. Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho (k+p).2^(k+p)-1 chia hết cho p.

Vì n.2^n-1 chia hết cho p, ta có:
n.2^n-1 ≡ 0 (mod p)
2^n ≡ 1/n (mod p)

Đặt k = n + p - 1. Khi đó:
(k+p).2^(k+p)-1 = (n+p-1+p).2^(n+p-1+p)-1 = (n+p-1).2^(n+p-1).2^p - 2^p + 1

Vì 2^n ≡ 1/n (mod p), ta có:
2^(n+p-1) ≡ 2^(k-1) ≡ 1/(n+p-1) (mod p)

Vậy:
(k+p).2^(k+p)-1 ≡ (n+p-1).2^(n+p-1).2^p - 2^p + 1 ≡ (n+p-1)/(n+p-1).2^p - 2^p + 1 ≡ 1.2^p - 2^p + 1 ≡ 2^p - 2^p + 1 ≡ 1 (mod p)

Do đó, (k+p).2^(k+p)-1 chia hết cho p.

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 2, nên theo Định lý Euclid về số nguyên tố, tồn tại vô số số tự nhiên k sao cho (k+p).2^(k+p)-1 chia hết cho p.

Vậy, có vô số số tự nhiên thoả n.2^n-1 chia hết cho p.