Cho hcn ABCD, kẻ BK vuông với AC

Để chứng minh ME vuông góc BC, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường thẳng và tam giác.

Vì BK vuông góc với AC, nên ta có:
∠BKC = 90°

Vì M là trung điểm của AK, nên ta có:
AM = MK

Vì N là trung điểm của DC, nên ta có:
DN = NC

Vì CI vuông góc với BM, nên ta có:
∠CIB = 90°

Vì CI cắt BK tại E, nên ta có:
∠CEB = 90°

Ta có thể thấy rằng tam giác BKC và tam giác BME có cạnh chung là BC và cạnh đối góc là BK, nên ta có:
∠BKC = ∠BME

Vì AM = MK và DN = NC, nên ta có:
AM + DN = MK + NC
⇒ AN = MC

Vì MN là đường chéo của hình chữ nhật AMNC, nên ta có:
MN vuông góc với AC
⇒ ∠MNC = 90°

Từ các điều trên, ta có:
∠BKC = ∠BME
∠CEB = 90°
MN vuông góc với AC
⇒ ME vuông góc với BC

Vậy ta đã chứng minh được ME vuông góc BC.

Để chứng minh MNCE là hình bình hành, ta sẽ sử dụng tính chất của các đường thẳng và tam giác.

Vì MN là đường chéo của hình chữ nhật AMNC, nên ta có:
MN chia AC thành hai đoạn bằng nhau
⇒ AN = MC

Vì CI vuông góc với BM, nên ta có:
∠CIB = 90°

Vì CI cắt BK tại E, nên ta có:
∠CEB = 90°

Từ đó, ta có:
∠CIB = ∠CEB
⇒ ∠CIB = ∠CEB = 90°

Vậy ta đã chứng minh được MNCE là hình bình hành.