Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác MNP có điểm

a) Để tính chu vi tam giác MNP, ta cần tính độ dài các cạnh của tam giác.

Độ dài cạnh MN = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-2 - 6)^2 + (1 - 3)^2] = √[64 + 4] = √68 = 2√17

Độ dài cạnh NP = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-1 - (-2))^2 + (2 - 1)^2] = √[1 + 1] = √2

Độ dài cạnh PM = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2] = √[(-1 - 6)^2 + (2 - 3)^2] = √[49 + 1] = √50 = 5√2

Chu vi tam giác MNP = MN + NP + PM = 2√17 + √2 + 5√2 = 7√2 + √17

Để tính diện tích tam giác MNP, ta sử dụng công thức diện tích tam giác bằng một nửa tích vô hướng của hai vectơ.

Diện tích tam giác MNP = 1/2 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1)|
= 1/2 * |(-2 - 6)(2 - 3) - (-1 - 6)(1 - 3)|
= 1/2 * |-8 + 7|
= 1/2 * |-1|
= 1/2

b) Để tìm tọa độ điểm Q sao cho tam giác MNPQ là hình bình hành, ta cần tìm vectơ PQ và cộng nó với tọa độ của điểm P.

Vectơ PQ = (x2 - x1, y2 - y1) = (-1 - 6, 2 - 3) = (-7, -1)

Tọa độ điểm Q = (xP + xPQ, yP + yPQ) = (-1 + (-7), 2 + (-1)) = (-8, 1)

Vậy tọa độ điểm Q là (-8, 1).

c) Để tìm tọa độ trực tâm H của tam giác MNP, ta tính trung điểm của các đỉnh của tam giác.

Tọa độ trực tâm H = (1/3 * (xM + xN + xP), 1/3 * (yM + yN + yP))
= (1/3 * (6 + (-2) + (-1)), 1/3 * (3 + 1 + 2))
= (1/3 * 3, 1/3 * 6)
= (1, 2)

Vậy tọa độ trực tâm H của tam giác MNP là (1, 2).

d) Để tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP, ta tính trung điểm của hai đỉnh không chứa đỉnh I.

Tọa độ tâm I = (1/2 * (xM + xN), 1/2 * (yM + yN))
= (1/2 * (6 + (-2)), 1/2 * (3 + 1))
= (1/2 * 4, 1/2 * 4)
= (2, 2)

Vậy tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là (2, 2).