1. Đường thẳng (d) đi qua điểm A(2,1) và song song với đường thẳng (d'): y = 2x - 1.

Vì (d) và (d') song song nhau, nên hệ số góc của (d) cũng phải là 2.

Phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x + c.

Để tìm giá trị của c, ta thay vào phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(2,1):
1 = 2(2) + c
1 = 4 + c
c = -3

Vậy phương trình đường thẳng (d) là: y = 2x - 3.

2. Hàm số y = mx + 3m + 1 có đồ thị là đường thẳng (d).

a. Để (d) đi qua điểm A(1,-3), ta thay vào phương trình đường thẳng (d):
-3 = m(1) + 3m + 1
-3 = m + 3m + 1
-4m = -4
m = 1

Vậy để (d) đi qua điểm A(1,-3), tham số m phải bằng 1.

b. Để tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m, ta thay vào phương trình đường thẳng (d) với một giá trị m bất kỳ:
y = mx + 3m + 1
Để (d) đi qua một điểm cố định, ta giải hệ phương trình:
mx + 3m + 1 = y
mx + 3m + 1 = mx + c
3m + 1 = c

Vậy điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua là (0,1).