Để chứng minh các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng tính chất của đường chéo và trung điểm trong tứ giác.

a) Ta có tứ giác ABCD là tứ giác có 2 đường chéo vuông góc gặp nhau tại điểm O. Khi đó, ta có các tam giác AOB và COD là tam giác vuông.

Theo tính chất của tam giác vuông, ta có:

AO^2 + OB^2 = AB^2 (1)
CO^2 + OD^2 = CD^2 (2)

Vì O là trung điểm của đoạn thẳng AC, nên ta có:

AO = CO và BO = DO

Do đó, ta có:

AO^2 + BO^2 = CO^2 + DO^2 (3)

Từ (1), (2) và (3), ta có:

AB^2 + CD^2 = 2(AO^2 + BO^2)

Vậy, nửa chu vi của tứ giác ABCD là:

AB + CD = 2(AO + BO)

Ta cần chứng minh rằng:

OE + OF + OH + OG = AB + CD

Ta có:

OE = 1/2 AB (4)
OF = 1/2 BC (5)
OH = 1/2 CD (6)
OG = 1/2 DA (7)

Từ (4), (5), (6) và (7), ta có:

OE + OF + OH + OG = 1/2 (AB + BC + CD + DA)

Vì ABCD là tứ giác, nên AB + BC + CD + DA = AC + BD

Vì O là trung điểm của AC và BD, nên AC = 2AO và BD = 2BO

Do đó, ta có:

AB + BC + CD + DA = 2(AO + BO)

Vậy, ta đã chứng minh được a).

b) Ta cần chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Ta có:

EF = 1/2 AB (8)
FG = 1/2 BC (9)
GH = 1/2 CD (10)
HE = 1/2 DA (11)

Từ (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10) và (11), ta có:

EF = HE và FG = GH

Do đó, ta có:

EF || GH và FG || HE

Vì O là trung điểm của AC và BD, nên ta có:

OE || GH và OF || HE

Vậy, tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Đây là cách chứng minh a) và b) cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo vuông góc gặp nhau tại điểm O và EFGH là hình chữ nhật.