Để chứng minh phương trình đã cho, ta sẽ sử dụng công thức khai triển của một khối lập phương:

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

Áp dụng công thức này vào phương trình đã cho, ta có:

(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3) + (y^3 - 3y^2z + 3yz^2 - z^3) + (z^3 - 3z^2x + 3zx^2 - x^3)

Các thành phần bị trừ đi và cộng lại:

= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 + y^3 - 3y^2z + 3yz^2 - z^3 + z^3 - 3z^2x + 3zx^2 - x^3

Các thành phần bị trừ đi và cộng lại:

= x^3 - x^3 + y^3 - y^3 + z^3 - z^3 - 3x^2y - 3y^2z - 3z^2x + 3xy^2 + 3yz^2 + 3zx^2

= - 3x^2y - 3y^2z - 3z^2x + 3xy^2 + 3yz^2 + 3zx^2

= 3xy^2 + 3yz^2 + 3zx^2 - 3x^2y - 3y^2z - 3z^2x

= 3(x^2y + y^2z + z^2x - xy^2 - yz^2 - zx^2)

= 3(x^2y - xy^2 + y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2)

= 3(x - y)(x^2 + xy + y^2 - yz - zx + z^2)

= 3(x - y)(x^2 - zx + xy - yz + y^2 + z^2)

= 3(x - y)(x^2 - zx + xy - yz + y^2 - y^2 + z^2)

= 3(x - y)(x^2 - zx + xy - yz + z^2 - y^2 + y^2)

= 3(x - y)(x^2 - zx + xy - yz + z^2 - y^2)

= 3(x - y)(x - z)(z - y)

Vậy, ta đã chứng minh được rằng (x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3 = 3(x - y)(x - z)(z - y).