a) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Vì đường thẳng DN song song với AB, nên DN cũng vuông góc với BC. Mà DN cắt BC tại M, nên M là trung điểm của BC.

Vậy BM = MC.

Ta có HD = HA (theo đề bài). Vì ABDM là hình thoi, nên AD là đường phân giác của góc BAC.

Mà AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH cũng là đường phân giác của góc BAC.

Vậy AD cũng là đường phân giác của góc BAC.

Do đó, ta có AB = BD.

Vậy ABDM là hình thoi.

b) Gọi I là trung điểm của MC. Ta cần chứng minh NH vuông góc với NI.

Vì I là trung điểm của MC, nên IM = IC.

Vì BM = MC (vì ABDM là hình thoi), nên BM = IC.

Vậy tam giác BIM là tam giác cân tại I.

Vì tam giác BIM là tam giác cân tại I, nên góc BMI = góc BIM.

Mà góc BMI + góc BIM = 180° (góc bù), nên góc BMI = góc BIM = 90°.

Vậy BM vuông góc với IM.

Vì BM vuông góc với IM và NI là đường phân giác của góc BAC, nên NH vuông góc với NI.