Cho tam giác ABC vẽ phía ngoài tam giác các tam giác vuông BAE vuông tại A (AE=AB) và tam giác CAF vuông tại A (AC=AF), kẻ AH vuông góc với BC cắt EF ở Q

Để chứng minh a) EC = BF, ta sẽ sử dụng định lí cung tiếp tuyến. Ta có:
- Tam giác BAE vuông tại A, nên góc BAE = 90°.
- Tam giác CAF vuông tại A, nên góc CAF = 90°.
- Góc BAE = góc CAF (cùng là góc vuông), nên tam giác BAE và tam giác CAF có cùng một góc.
- Vì AE = AB và AC = AF, nên tam giác BAE và tam giác CAF có cạnh chung là AE và AC.
- Do đó, tam giác BAE và tam giác CAF là hai tam giác cùng nhau (có cạnh chung và cùng một góc).
- Theo định lí cung tiếp tuyến, ta có: BC là tiếp tuyến chung của hai tam giác BAE và CAF.
- Khi đó, ta có EC = BF (do cung tiếp tuyến chung BC).

Để chứng minh b) CM: Q là trung điểm của EF, ta sẽ sử dụng định lí hình học về trung điểm. Ta có:
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Vì AH vuông góc với BC, nên Q là trung điểm của EF (do AH cắt EF tại Q và AH vuông góc với BC).
- Ta cần chứng minh Q là trung điểm của EF, tức là EQ = FQ.
- Ta có: EQ = EM + MQ và FQ = FM + MQ.
- Vì M là trung điểm của BC, nên EM = FM.
- Khi đó, ta có EQ = FQ (do EM = FM và MQ là chung).
- Vậy, Q là trung điểm của EF (EQ = FQ).