Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC chứng minh góc ABM bằng góc  ACM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Để chứng minh góc ABM bằng góc ACM, ta sử dụng tính chất của tam giác cân.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc ABC = góc ACB. Mà góc ABC = góc ABM (vì M là trung điểm của BC), nên góc ABM = góc ACB.

Để chứng minh AC = BC, ta sử dụng tính chất của tam giác đều.

Gọi E là trung điểm của AC. Ta có ME = MA (vì M là trung điểm của BC và MD = MA), và góc MDE = góc MAD (vì MD // AC).

Vì tam giác MDE cân tại M, nên góc MDE = góc MED. Mà góc MDE = góc MAD, nên góc MED = góc MAD.

Vì tam giác MAD cân tại M, nên góc MAD = góc MDA. Mà góc MAD = góc MDE, nên góc MDA = góc MDE.

Vậy ta có góc MDA = góc MDE = góc MED = góc MAD.

Vì góc MAD = góc MDA, nên tam giác MAD là tam giác cân tại M. Vậy AD = MD.

Giả sử AC ≠ BC. Khi đó, ta có ME ≠ MB (vì E là trung điểm của AC và M là trung điểm của BC).

Gọi I là giao điểm của tia Ax và BC. Ta có AI // BC (vì Ax // BC) và AI = BC (theo đề bài).

Vì AI // BC và AI = BC, nên tam giác AIC là tam giác đều.

Vậy ta có AI = AC = BC. Nhưng điều này mâu thuẫn với giả sử ME ≠ MB.

Vậy giả sử AC = BC là sai. Do đó, ta kết luận AC = BC.

Vậy ta có ba điểm D, C, I thẳng hàng.