a. Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. DE vuông góc với BC.
2. DE đi qua tâm O.

1. Ta có:
∠BDC = 90° (vì DE là hình chiếu vuông góc của D trên BC)
∠BDC = ∠BAC (cùng nằm trên cùng một cung BD của đường tròn)
Vậy ∠BAC = 90°, nên DE vuông góc với BC.

2. Ta có:
∠BAC = ∠BDC (cùng nằm trên cùng một cung BD của đường tròn)
∠BDC = ∠BAC (do DE là hình chiếu vuông góc của D trên BC)
Vậy ∠BAC = ∠BDC, nên DE đi qua tâm O.

Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.

b. Để chứng minh M là trung điểm của DE, ta cần chứng minh hai điều kiện sau:
1. AE đi qua tâm O.
2. BF đi qua tâm O.

1. Ta có:
∠BAE = ∠BDE (cùng nằm trên cùng một cung BD của đường tròn)
∠BDE = ∠BAE (do DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O)
Vậy ∠BAE = ∠BDE, nên AE đi qua tâm O.

2. Ta có:
∠BFO = ∠BDO (cùng nằm trên cùng một cung BD của đường tròn)
∠BDO = ∠BFO (do DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm O)
Vậy ∠BDO = ∠BFO, nên BF đi qua tâm O.

Vậy M là trung điểm của DE.