Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có AB = 4,5cm; AC = 6cm

a) Để chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn đi qua E, H, C, ta cần chứng minh tứ giác EHDC là tứ giác nội tiếp.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên ta có:
AH^2 = AB^2 + BH^2
4.5^2 = 4^2 + BH^2
BH^2 = 4.5^2 - 4^2
BH^2 = 20.25 - 16
BH^2 = 4.25
BH = √4.25

Tương tự, ta có:
CH^2 = AC^2 - AH^2
CH^2 = 6^2 - 4.5^2
CH^2 = 36 - 20.25
CH^2 = 15.75
CH = √15.75

Vì DE vuông góc với AB và AC, nên ta có:
DE^2 = AH^2 + HE^2
DE^2 = 4.5^2 + √4.25^2
DE^2 = 20.25 + 4.25
DE^2 = 24.5
DE = √24.5

Từ đó, ta có:
BH * CH = √4.25 * √15.75 = √67.1875 ≈ 8.19
AH * DH = 4.5 * √4.25 = 4.5 * 2.06 ≈ 9.27

Vậy tứ giác EHDC là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi I là giao điểm của AH và DE, M là trung điểm của HC.

Ta có:
MI là đường trung bình của tam giác HIC, nên ta có:
MI = (HI + IC) / 2

Vì tam giác HIC là tam giác vuông tại I, nên ta có:
HI^2 + IC^2 = HC^2
HI^2 + (2 * MI)^2 = CH^2
HI^2 + 4 * MI^2 = CH^2

Từ đó, ta có:
HI = √(CH^2 - 4 * MI^2)

Vì AH vuông góc với DE, nên ta có:
HI * AI = DH * AH
√(CH^2 - 4 * MI^2) * AI = 9.27

Vì AI = AH - HI, nên ta có:
√(CH^2 - 4 * MI^2) * (AH - √(CH^2 - 4 * MI^2)) = 9.27

Giải phương trình trên để tìm MI.