Cho tam giác MNP nhọn có MN; MP. Trên cạnh MP lấy điểm B sao cho MB = MN. Lấy O là trung điểm của NB. Chứng minh: Tam giác MNO = tam giác MBO. Kéo dài MO cắt NP tại A. Chứng minh: AN = AB

a. Ta có MB = MN và O là trung điểm của NB, nên MO song song với MN và có độ dài gấp đôi độ dài NB. Vì vậy, tam giác MNO và tam giác MBO có cạnh chung MO và ON, và cạnh còn lại của tam giác MNO là gấp đôi cạnh còn lại của tam giác MBO. Do đó, theo định lý cạnh đôi, ta có tam giác MNO = tam giác MBO.

b. Ta đã chứng minh được tam giác MNO = tam giác MBO, nên các góc tương ứng của hai tam giác này cũng bằng nhau. Vì vậy, góc MNO = góc MBO.

Kéo dài MO cắt NP tại A. Ta có góc MNO = góc MBO = góc ANO (do MO song song với NP). Vì vậy, tam giác MNO và tam giác ANO có hai góc bằng nhau, nên theo định lý góc bằng, ta có AN = NO.

Từ a và b, ta có AB = NO = AN.

c. Đường thẳng qua P song song với NB cắt MO kéo dài tại điểm H, cắt MN kéo dài tại điểm C. Ta có góc MNO = góc MBO = góc HPC (do MO song song với NP). Vì vậy, tam giác MNO và tam giác HPC có hai góc bằng nhau, nên theo định lý góc bằng, ta có MH vuông góc CP.

Ta đã chứng minh được MH vuông góc CP và MO song song với NP, nên ta có MH || NP. Do đó, theo định lý cạnh đôi, ta có MC = MP.

d. Ta đã chứng minh được AB = AN và MC = MP, nên theo định lý cạnh đôi, ta có BA || MC. Vì B, A, C đều nằm trên đường thẳng MP, nên ta có B, A, C thẳng hàng.