Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Trên nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A và B), kẻ OK ⊥ BC tại K

a) Ta có:
- Vì OK ⊥ BC nên OK ∥ AC (do AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O).
- Gọi M là trung điểm của BC, ta có AM là đường cao của tam giác ABC.
- Vì O là trung điểm của AB nên O là trung điểm của AM.
- Do đó, ta có: OK ∥ AC và O là trung điểm của AM.
- Áp dụng định lí Thales, ta có: BC/BD = AM/AD.
- Vì AM = 2R (do AB = 2R) và AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O nên AD = 2R.
- Từ đó, ta có: BC/BD = 2R/2R = 1.
- Nhân cả hai vế của phương trình trên với BD, ta có: BC · BD = 4R^2.

b) Ta có:
- Gọi E là giao điểm của AC và BD.
- Vì OK ∥ AC nên góc BOK = góc BAC.
- Vì BC · BD = 4R^2 nên góc BDC = góc BAC.
- Do đó, góc BOK = góc BDC.
- Vì OB = OD nên góc BOD = góc BDO.
- Từ đó, ta có: góc BOK + góc BOD = góc BDC + góc BDO.
- Nhưng góc BOD = góc BDO nên góc BOK = góc BDC.
- Vậy, IC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O.

c) Ta có:
- Gọi F là giao điểm của BI và CH.
- Vì BI cắt CH tại N nên ta cần chứng minh N là trung điểm của CH.
- Ta có: CH ⊥ AB và BI ⊥ AB nên CH ∥ BI.
- Vì N là trung điểm của BI nên NF = FI.
- Ta cần chứng minh NH = HF.
- Gọi G là giao điểm của AC và BI.
- Ta có: NG = GI (do N là trung điểm của BI).
- Vì AC ∥ BI nên góc GAC = góc GBI.
- Vì AC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O nên góc GAC = góc GOC.
- Vì BI là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O nên góc GBI = góc GBO.
- Từ đó, ta có: góc GOC = góc GBO.
- Vậy, OG = OC.
- Do đó, ta có: OG = OC = OG.
- Vì OG = OC nên góc OGC = góc OCG.
- Vì OG = OC nên góc OCG = góc OGC.
- Từ đó, ta có: góc OGC = góc OCG = góc OCH.
- Vậy, OC = OH.
- Từ đó, ta có: NH = NF + FH = NG + GH = GH + OG = OH + OG = OG + OC = GC = CH/2.
- Vậy, N là trung điểm của CH.