a) Ta có AB = AC (đề bài cho) và BM = MC (M là trung điểm của BC). Nên theo định lí cạnh - cạnh - cạnh, ta có hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.

b) Ta đã chứng minh được hai tam giác ABM và ACM bằng nhau (theo câu a). Vì hai tam giác này bằng nhau nên các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Ta có góc BAM = góc CAM (vì AM là đường phân giác của góc A, theo câu c). Vì BM = MC (M là trung điểm của BC), nên theo định lí cạnh - góc - cạnh, ta có góc ABM = góc ACM. Từ đó suy ra góc BAM = góc CAM = góc ABM = góc ACM. Vậy AM vuông góc BC.

c) Ta đã chứng minh được hai tam giác ABM và ACM bằng nhau (theo câu a). Vì hai tam giác này bằng nhau nên các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Ta có góc BAM = góc CAM (vì AM là đường phân giác của góc A). Vậy AM là phân giác của góc A.

d) Lấy điểm D bất kỳ trên đoạn thẳng AM. Ta cần chứng minh DB = DA.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC. Ta có AM = AB + BM (theo định lí cạnh - cạnh - cạnh). Từ đó suy ra AM = AC + MC.
Vì AB = AC (đề bài cho) và BM = MC, nên AM = AB + BM = AC + MC.
Ta có DB = DM + BM và DA = DM + AM.
Vậy DB = DM + BM = DM + (AC + MC) = (DM + MC) + AC = AM + AC = DA.
Vậy DB = DA.