Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành

a) Ta có AB = 2AD và E là trung điểm của AB nên AE = 1/2AB = AD. Tương tự, ta có CF = AD. Vậy AE = CF.
Ta cũng có EF = 1/2CD = 1/2AB = AD. Vậy tứ giác AECF là hình bình hành.

b) Ta đã chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành. Vì E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD nên EF song song với AB và CD. Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành.

c) Ta có AE = CF và EF = AD. Vậy tứ giác AECF là hình bình hành.
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có AO = CO và BO = DO vì ABCD là hình bình hành.
Vì E là trung điểm của AB nên EO = 1/2OB. Tương tự, FO = 1/2OD. Vậy EO = FO.
Ta cũng có EF = AD và AE = CF. Vậy tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

d) Để tứ giác EIFK là hình vuông, ta cần và đủ có các điều kiện sau:
- Tứ giác AECF là hình bình hành.
- Tứ giác AEFD là hình bình hành.
- Tứ giác EIFK là hình chữ nhật.
- Góc EIK = 90 độ.
- Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại giao điểm O sao cho EO = FO.
- Đường chéo AC cắt đường chéo BD tại giao điểm O sao cho AO = CO và BO = DO.
- Góc EIO = 90 độ và góc FIO = 90 độ.
- Góc EIK = góc FIK = góc EIO = góc FIO = 90 độ.
- Góc EIK = góc FIK = góc EIO = góc FIO = 90 độ và EO = FO.