Xét số thực a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=8

Ta có:
P = abc(a+b+c)
= abc(a+b+c) + 2abc - 2abc
= abc(a+b+c) + 2abc - 2abc(a+b+c)
= abc(a+b+c-2) + 2abc(1-a-b-c)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
abc(a+b+c-2) + 2abc(1-a-b-c) ≤ (abc)^3/4 + (2abc)^3/4
= (abc)^3/4 + 8(abc)^3/4
= 9(abc)^3/4

Vậy, P ≤ 9(abc)^3/4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1/3.

Vậy, GTNN của P là 9(1/3)^3/4 = 9/2.