Để chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành, ta cần chứng minh hai đường chéo của nó cắt nhau ở trung điểm.

Gọi E là giao điểm của đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C. Ta cần chứng minh DE là đường chéo của tứ giác BDCH và cắt nhau ở trung điểm.

Ta có:
- Góc BAC = 90 độ (do đường thẳng vuông góc với AB tại B)
- Góc ABC = 90 độ (do đường thẳng vuông góc với AC tại C)
- Góc BCA = 180 - Góc BAC - Góc ABC = 180 - 90 - 90 = 0 độ

Do đó, tam giác BCA là tam giác cân tại C.

Vì tam giác BCA là tam giác cân, nên đường trung tuyến BH của tam giác BCA là đường cao và đường phân giác của góc BAC.

Vì đường trung tuyến BH là đường cao của tam giác BCA, nên BH vuông góc với AC tại H.

Vì đường BH là đường phân giác của góc BAC, nên BH chia góc BAC thành hai góc bằng nhau.

Vậy, góc DBH = góc HBC.

Tương tự, ta có góc DCH = góc HCB.

Vì góc DBH = góc HBC và góc DCH = góc HCB, nên tứ giác BDCH là tứ giác cân.

Do đó, DE là đường chéo của tứ giác BDCH và cắt nhau ở trung điểm.

Vậy, tứ giác BDCH là hình bình hành.