1) Ta có:
- Góc AMB và góc AMC là góc đối của nhau nên chúng bằng nhau.
- Góc BMD và góc CME là góc phân giác của góc AMB và góc AMC nên chúng cũng bằng nhau.
=> Tam giác BMD và tam giác CME là hai tam giác đồng dạng.
=> Từ đó, ta có:
BD/DM = BM/ME và CE/EM = CM/MC
=> BD/DM = CE/EM
=> DE // BC (theo định lí Thales).

2) Ta có:
- G là giao điểm của AM và DE nên G nằm trên đường trung tuyến AM.
- Ta cần chứng minh G là trung điểm của DE, tức là GD = GE.
- Ta có:
Góc BMD và góc CME là góc phân giác của góc AMB và góc AMC nên chúng bằng nhau.
=> Tam giác BMD và tam giác CME là hai tam giác đồng dạng.
=> BM/ME = BD/DM và CM/MC = CE/EM
=> BM/ME = CM/MC
=> BM/ME = CM/MC = 1 (vì BM = CM)
=> BD/DM = CE/EM = 1 (vì BM/ME = BD/DM = CE/EM)
=> GD = GE (theo định lí đồng dạng tam giác).

Điều kiện để G là trung điểm của AM là GD = GE, tức là BD/DM = CE/EM = 1.
=> Điều kiện của tam giác ABC để G là trung điểm của AM là BD/DM = CE/EM = 1.