Để chứng minh AC^2 = AB.AE, ta sẽ sử dụng định lí hình học về tiếp tuyến và đường kính của đường tròn.

Gọi M là trung điểm của AB. Ta có:

1. Vì SA và SB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc ASB là góc vuông.
2. Vì AC là đường kính của đường tròn (O), nên góc AMC là góc vuông.
3. Vì AC là đường kính của đường tròn (O), nên AM là đường cao của tam giác ABC.
4. Vì AM là đường cao của tam giác ABC, nên AM vuông góc với BC.
5. Vì AM là đường cao của tam giác ABC, nên BM cũng vuông góc với AC.
6. Vì M là trung điểm của AB, nên AM = MB.

Từ các điều trên, ta có hai tam giác vuông AMB và AMC có:

- Góc AMB = Góc AMC = 90 độ (góc vuông)
- AM = MB (vì M là trung điểm của AB)

Do đó, hai tam giác AMB và AMC là hai tam giác vuông cân.

Theo định lí Pythagoras, ta có:

AC^2 = AM^2 + MC^2
AC^2 = AM^2 + (AE - ME)^2 (vì MC = AE - ME)
AC^2 = AM^2 + (AE - AM)^2 (vì ME = AM)
AC^2 = AM^2 + AE^2 - 2AM.AE + AM^2
AC^2 = 2AM^2 + AE^2 - 2AM.AE
AC^2 = 2(AM^2 - AM.AE) + AE^2
AC^2 = 2AM(AM - AE) + AE^2
AC^2 = 2AM.MB + AE^2 (vì AM = MB)
AC^2 = 2AB.MB + AE^2 (vì AM = MB)
AC^2 = AB.AE + AE^2
AC^2 = AB.AE

Vậy ta đã chứng minh được AC^2 = AB.AE.