Để chứng minh MP // BC, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác cân.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên ta có AB = AC.

Ta có AM vuông góc BC, nên tam giác AMB và tam giác AMC có cạnh chung AM.

Giả sử MP không // BC, tức là MP cắt BC tại điểm P' khác M.

Khi đó, ta có:
- Tam giác AMP' và tam giác AMB có cạnh chung AM.
- Tam giác AMP' và tam giác AMC có cạnh chung AM.
- AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

Từ đó, ta có:
- Tam giác AMP' và tam giác AMB có cạnh chung AM và cạnh bằng nhau (AM).
- Tam giác AMP' và tam giác AMC có cạnh chung AM và cạnh bằng nhau (AM).
- Tam giác AMP' và tam giác AMB có cạnh bằng nhau (AB = AC).
- Tam giác AMP' và tam giác AMC có cạnh bằng nhau (AB = AC).

Vậy, theo nguyên lý cắt-giữa, ta có MP' = MP.

Tuy nhiên, ta đã biết rằng MN vuông góc AB và MP vuông góc AC.

Vậy, MP' cắt MN tại điểm N' khác M.

Khi đó, ta có:
- Tam giác AMP' và tam giác AMB có cạnh chung AM.
- Tam giác AMP' và tam giác AMC có cạnh chung AM.
- Tam giác AMP' và tam giác AMB có cạnh bằng nhau (AB = AC).
- Tam giác AMP' và tam giác AMC có cạnh bằng nhau (AB = AC).
- Tam giác AMP' và tam giác AMB có góc AMP' vuông góc AMB.
- Tam giác AMP' và tam giác AMC có góc AMP' vuông góc AMC.

Từ đó, ta có:
- Tam giác AMP' và tam giác AMB có cạnh chung AM, cạnh bằng nhau (AB = AC) và góc vuông (AMP').
- Tam giác AMP' và tam giác AMC có cạnh chung AM, cạnh bằng nhau (AB = AC) và góc vuông (AMP').

Vậy, theo nguyên lý cắt-giữa, ta có tam giác AMB = tam giác AMC.

Vậy, ta đã chứng minh được MP // BC.